Class 9 Maths Chapter 13 – पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

prashnpatrLast Updated: March 24, 2024

Class 9 Maths पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (प्रश्नावली 13.9)

1. एक लकड़ी के बुकशेल्फ (book-shelf) की बाहरी विमाएँ निम्न हैं : ऊँचाई = 110 सेमी, गहराई = 25 सेमी, चौड़ाई = 85 सेमी ( देखिए आकृति)। प्रत्येक स्थान पर तख्तों की मोटाई 5 सेमी है। इसके बाहरी फलकों पर पालिश कराई जानी है और आंतरिक फलकों पर पेंट किया जाना है। यदि पालिश कराने की दर 20 पैसे प्रति सेमी है और पेंट कराने की दर 10 पैसे प्रति सेमी है, तो इस बुक-शैल्फ पर पालिश और पेंट कराने का कुल व्यय ज्ञात कीजिए।

हल : बाहरी फलक जो पालिश होने हैं = घनाभाकार बुकशेल्फ के छ: फलकों का क्षेत्रफल – 3 (खुले भाग ABCD का क्षेत्रफल)
= 2 (110 x 25 + 25 x 85 + 85 x 110) सेमी²
– 3 [75 x 30] सेमी²
∵ प्रत्येक स्थान पर तख्तों की मोटाई 5 सेमी है।
∴ AB = (85 – 5 – 5) सेमी = 75 सेमी
और

= 2[2750 + 2125 + 9350] सेमी² – 3 [2250] सेमी²
= 2(14225) सेमी² – 6750 सेमी²
= (28450 – 6750) सेमी²
= 21700 सेमी²

लकड़ी के बुकशेल्फ के बाहरी फलकों पर पालिश करने का व्यय (20 पैसे अर्थात् ₹ प्रति सेमी² की दर से)
= ₹
= ₹ 4340
अब, यहाँ तीन बराबर भुजाओं वाले पाँच फलक हैं।
अतः, कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 3[2(30 + 75) 20 + 30 x 75] सेमी²
[यहाँ आंतरिक गहराई = 25 – 5 = 20 सेमी] = 3[2 x 105 x 20 + 2250] सेमी²
= 3[4200 + 2250] सेमी²
= 3 x 6450 सेमी²
= 19350 सेमी²
आंतरिक फलकों पर पेंट करने का व्यय
(10 पैसे अर्थात् ₹ प्रति सेमी² की दर से)

= ₹

= ₹ 1935

पेंट करने पर कुल वांछित व्यय
= ₹ 4340 + ₹ 1935
= ₹ 6275

2. किसी घर के कंपाउंड की सामने की दीवार को 21 सेमी व्यास वाले लकड़ी के गोलों को छोटे आधारों पर टिका कर सजाया जाता है, जैसा कि आकृति में दिखाया गया है। इस प्रकार के आठ गोलों का प्रयोग इस कार्य के लिए किया जाना है और इन गोलों को चाँदी वाले रंग में पेंट करवाना है। प्रत्येक आधार 1.5 सेमी त्रिज्या और ऊँचाई 7 सेमी का एक बेलन है तथा इन्हें काले रंग से पेंट करवाना है। यदि चाँदी वाले रंग का पेंट करवाने की दर 25 पैसे प्रति सेमी है तथा काले रंग का पेंट करवाने की दर 5 पैसे प्रति सेमी² हो, तो पेंट करवाने का कुल व्यय ज्ञात कीजिए।

हल : मान लीजिए लकड़ी के गोले की त्रिज्या = R

∴ व्यास; 2R = 21 सेमी
⇒
मान लीजिए बेलन की त्रिज्या = r
∴ r = 1.5 सेमी

गोले के उस भाग का पृष्ठीय क्षेत्रफल जिस पर चाँदी वाले रंग का पेंट करवाना है।
= गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल – बेलन के ऊपरी वृत्तीय भाग का क्षेत्रफल जिन पर गोले टिकाए गए हैं।
= 4𝝅R² – 𝝅r²
= 𝝅(4R^{2</sup-r^2</sup)}

= 1378,928 सेमी²

ऐसे आठ गोलाकार भागों का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 8 x 1378.928 सेमी²
= 11031.424 सेमी²

1 सेमी² पर चाँदी वाले रंग का पेंट करने पर व्यय = ₹
11031.424² सेमी पर चाँदी वाले रंग का पेंट करने पर व्यय

= ₹ [∵25पैसे = ₹ ] = ₹
= ₹ 2757.85

अब बेलनाकार आधार का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2𝝅rh
[जहाँ h = 7 सेमी बेलनाकार भाग की ऊँचाई है]
= 66 सेमी²
ऐसे 8 बेलनाकार आधारों का पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 66 x 8
= 528 सेमी2
1 सेमी² बेलनाकार आधार पर काला पेंट करने का व्यय = ₹
528 सेमी² बेलनाकार आधार पर काला पेंट करने पर व्यय

= ₹ [∵5 पैसे = ₹ ] [= ₹ ] = 26.4
पेंट कराने पर कुल व्यय
= ₹ 2757.85 + ₹ 26.40
= ₹ 2784.25

3. एक गोले के व्यास में 25% की कमी हो जाती है। उसका वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल कितने प्रतिशत कम हो गया है ?

हल : मान लीजिए कि गोले की मूल त्रिज्या = R
∴ इसका व्यास; D = 2R
⇒
मूल गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4𝝅R²

= 𝝅D²
प्रश्नानुसार
व्यास में कमी = D का 25%

अब नए गोले का व्यास

मान लीजिए नए गोले की त्रिज्या = r
∴ इसका व्यास;
⇒
अब नये गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 4𝝅r²

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन = मूल गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल – नए गोले का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में प्रतिशत
= परिवर्तन वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन/ मूल गोले का वक्र x 100
पृष्ठीय क्षेत्रफल

= 43.75%

4. समीरा अपनी बेटी का पाँचवाँ जन्मदिन एक पार्टी द्वारा मनाना चाहती है। उसने शंकु आकार की टोपियाँ बनाने के लिए मोटा कागज़ खरीदा। प्रत्येक टोपी के आधार का व्यास 10 सेमी और ऊँचाई 12 सेमी है। कागज़ की शीट (sheet) की विमाएँ 25 सेमी x 40 सेमी हैं और लगभग 82% शीट कटाई के बाद प्रयोग में लाई जा सकती है। यदि पार्टी में 15 बच्चे आने हों, तो समीरा को कम से कम कितनी संख्या में कागज़ की शीटें खरीदने की आवश्यकता है ? (𝝅 = 3.14 का प्रयोग कीजिए)

हल : मान लीजिए शंकु आकार टोपी के आधार की त्रिज्या = r
∴ व्यास; 2r = 10 सेमी

⇒ सेमी
⇒ r = 5 सेमी
शंकु आकार टोपी की ऊँचाई = h = 12 सेमी
मान लीजिए शंकु की तिर्यक ऊँचाई l है।
∴ l² = r² + h² [पाइथागोरस के परिणाम का प्रयोग करने पर] ⇒ l² = (5² + 12²) सेमी²
l = (25 + 144) सेमी²
⇒ l² = 169 सेमी²
⇒ l = √169 सेमी
⇒ l = 13 सेमी
टोपी का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 𝝅rl
= 3.14 x 5 x 13 सेमी²
= 204.1 सेमी²
ऐसी 15 टोपियों का कुल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= (15 x 204.1) सेमी²
= 3061.5 सेमी²
टोपी बनाने के लिए प्रयोग की जाने वाली कागज़ की शीट का क्षेत्रफल =
25 सेमी X 40 सेमी
= 1000 सेमी
कटाई के बाद कागज़ का 82% टोपियां बनाने में प्रयुक्त हुआ
इसलिए 1000 सेमी का 82%

= 820 सेमी
शीटों की संख्या
जो समीरा को खरीदने की आवश्यकता है।
= 15 शंकु आकार टोपियों का कुल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल/कटाई के बाद टोपियों में प्रयुक्त हुई कागज़ की शीट का क्षेत्रफल

= 3.73
वास्तव में 3.73 शीटों की आवश्यकता है।
परंतु क्योंकि पूरी शीटें खरीदी जानी हैं इसलिए समीरा को 4 शीटों की आवश्यकता है।

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