Class 9 Maths Chapter 11 – रचनाएँ

Class 9 Maths Chapter 11 – रचनाएँ

NCERT Solutions For Class 9 Mathematics Chapter 9. रचनाएँ – जो उम्मीदवार 9th कक्षा में पढ़ रहे है उन्हें रचनाएँ के बारे में पता होना बहुत जरूरी है .इसके बारे में हमे कक्षा 9 के गणित के अंतर्गत पढ़ाया जाता है.  इसलिए यहां पर हमने एनसीईआरटी कक्षा 9th गणित अध्याय 11 (रचनाएँ) का सलूशन दिया गया है .इस NCERT Solutions For Class 9 Maths Chapter 11. Constructions की मदद से विद्यार्थी अपनी परीक्षा की तैयारी कर सकता है और परीक्षा में अच्छे अंक प्राप्त कर सकता है. इसलिए आप Ch.11 रचनाएँ के प्रश्न उत्तरों ध्यान से पढिए ,यह आपके लिए फायदेमंद होंगे.

NCERT Solutions For Class 9 गणित Chapter 11 रचनाएँ

Class 9 Mathematics रचनाएँ Ex 11.1
Class 9 Mathematics रचनाएँ Ex 11.2

Class 9 Maths रचनाएँ (प्रश्नावली 11.1)

1. एक किरण OA खींचिए।

2. 0 को केंद्र मानकर और उपयुक्त त्रिज्या लेकर एक चाप LM खींचिए जो OA को L पर काटे।

3. अब L को केन्द्र मानकर और त्रिज्या OL, लेकर एक चाप खींचिए जो चाप LM को P पर काटे।

4. तब P को केन्द्र मानकर और त्रिज्या OL, लेकर एक चाप खींचिए जो चाप PM को बिंदु Q पर काटे।

5. किरण OB खींचने के लिए OP को मिलाइए। साथ ही, किरण OC प्राप्त करने के लिए 0 और 9 को मिलाइए। हम देखते हैं कि :
∠AOB = ∠BOC = 60°

6. अब हमने ∠BOC को समद्विभाजित करना है। इसके लिए P को केंद्र मानकर और त्रिज्या PQ से अधिक लेकर एक चाप खींचिए।

7. अब Q को केंद्र मानकर और चरण 6 वाली त्रिज्या लेकर एक अन्य चाप लगाइए जो चरण 6 वाली चाप को R पर काटे।

8. किरण OD खींचने के लिए 0 और R को मिलाइए।
तब ∠AOD ही अभीष्ट कोण 90° है।
सत्यापन : ∠AOD, को मापिए। आप देखेंगे कि ∠AOD = 90° है।
रचना की प्रमाणिकता :
PL, को मिलाइए, तब
OL = OP = PL (रचना से)
अतः, ∆OPL एक समबाहु त्रिभुज है और ∠POL जोकि ∠BOA के समान है, 60° के बराबर है।

अब, QP को मिलाइए
OP = OQ = PQ (रचना से)
अतः, ∆OQP एक समबाहु त्रिभुज है।
∴ ∠POQ जोकि ∠BOC के बराबर है, 60° का है।
रचना से OD, ∠BOC का समद्विभाजक है।
∴

अब ∠DOA = ∠BOA + ∠DOB
⇒ ∠DOA = 60° + 30°
⇒ ∠DOA = 90°

हल : हम देखते हैं कि
इसलिए हम अभीष्ट कोण प्राप्त करने के लिए दिए गए कोण को समद्विभाजित करने की प्रक्रिया का अनुसरण करते हैं।
अत:, 45° का कोण बनाने के लिए हम नीचे दिए अनुसार प्रक्रिया करते है:
रचना के चरण :
1. ∠AOD = 90° खींचिए। (टिप्पणी : उन्हीं चरणों का अनुसरण कीजिए जो कि 90° के कोण की रचना में किए हैं।)
2. L को केंद्र मानकर और त्रिज्या से बड़ी लेकर एक चाप खींचिए।

3. अब S को केन्द्र मानकर और चरण 2 वाली ही त्रिज्या लेकर एक अन्य चाप खींचिए जो चरण 2 वाली चाप को T पर काटती है।

4. 0 और T को मिलाइए और किरण OE खींचिए।
अतः, OE, ∠AOD को समद्विभाजित करती है। इसलिए, ∠AOE = ∠DOE = 45° है।
सत्यापन : ∠AOE, को मापिए, आप देखोगे कि ∠AOE = 45° है।
रचना की प्रमाणिकता :
LS को मिलाइए तब ∆OLS समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें 0 पर समकोण है।
∴ OL = OS

इसलिए O, SL के लम्ब समद्विभाजक पर स्थित है।
∴ SF = FL
और ∠OFS = ∠OFL [प्रत्येक 90°] अब ∆OFS और ∆OFL में,
OF = OF [उभयनिष्ठ)
OS = OL [रचना से] SF = FL [ऊपर प्रमाणित] ∴ ∆OFS ≅ ∆OFL [SSS नियम से] ⇒ ∠SOF = ∠LOF [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग] अब
∠SOF + ∠LOF = ∠SOL
⇒ ∠LOF + ∠LOF = 90°
⇒ 2∠LOF = 90°
⇒
⇒ ∠LOF = 45°
या ∠AOE = 45° [जोकि रचना के अनुसार सत्य है।

3. निम्न माप के कोणों की रचना कीजिए :
(i) 30° (ii) (iii) 15°

हल : (i) 30° के कोण की रचना :
हम देखते हैं कि
इसलिए हम अभीष्ट कोण प्राप्त करने के लिए दिए गए कोण को समद्विभाजित करने की प्रक्रिया का अनुसरण करते हैं।
अतः 30° के कोण की रचना के लिए हम नीचे दिए अनुसार प्रक्रिया करते हैं :
रचना के चरण :
1. एक किरण OA खींचिए।

2. O को केंद्र मानकर और उपयुक्त त्रिज्या लेकर चाप LM खींचिए जो OA को L पर काटती है।

3. L को केंद्र मानकर और त्रिज्या OL लेकर एक चाप खींचिए जो LM को N पर काटती है।

4. O और N को मिलाइए और रेखा OB खींचिए। तब ∠AOB = 60° है।

5. L को केंद्र मानकर और त्रिज्या LN, से बड़ी लेकर एक चाप खींचिए।

6. अब N को केंद्र मानकर और चरण 5 वाली त्रिज्या लेकर एक अन्य चाप खींचिए जो कि चरण 5 वाली चाप को P पर प्रतिच्छेद करती हो।

7. O और P को मिलाइए और किरण OC खींचिए।

अतः, OC, ∠AOB को समद्विभाजित करती है और इसलिए
∠AOC = ∠BOC = 30°
सत्यापन : ∠AOC को मापिए, आप देखेंगे कि ∠AOC = 30° है।
(ii) के कोण की रचना :
हम देखते हैं कि
इसलिए हम अभीष्ट कोण प्राप्त करने के लिए दिए गए कोण को समद्विभाजित करने की प्रक्रिया का अनुसरण करते हैं। का कोण बनाने के लिए हम नीचे दिए अनुसार प्रक्रिया करते हैं :
रचना के चरण :
1. ∠AOD = 90° खींचिए।
(टिप्पणी : प्रश्न न० 1 में दिए गए चरणों का अनुसरण कीजिए जो कि 90° के कोण की रचना में लिए हैं।)
2. अब ∠AOD को किरण OE से इस प्रकार समद्विभाजित कीजिए कि ∠DOE = ∠AOE = 45° (टिप्पणी : उन्हीं चरणों का अनुसरण कीजिए जो प्रश्न न० 2 में 45° के कोण की रचना में लिए हैं।)

3. मान लीजिए किरण OE वृत्त की चाप को N पर प्रतिच्छेद करती है।
4. अब L को केंद्र मानकर और त्रिज्या LN से अधिक लेकर एक चाप खींचिए।
5. N को केंद्र मानकर और वही त्रिज्या जो चरण 4 में ली गई है, लेकर एक अन्य चाप खींचिए जो चरण 4 वाली चाप को I पर काटे।
6. 0 और I को मिलाइए और किरण OF खींचिए। अत:, OE, ∠AOE को समद्विभाजित करती है।

सत्यापन : ∠AOF को चाँदे की सहायता से मापिए। हम देखते हैं कि

(iii) 15° के कोण की रचना :
हम देखते हैं कि
इसलिए अभीष्ट कोण प्राप्त करने के लिए हम दिए गए कोण को समद्विभाजित करने वाली विधि का अनुसरण करते हैं। अतः, 15° के कोण की रचना के लिए हम निम्नलिखित चरणों का अनुसरण करते हैं।
रचना के चरण :
1. ∠AOB = 60° खींचिए।
2. अब ∠AOB को किरण OC से इस तरह समद्विभाजित कीजिए कि ∠BOC = ∠AOC = 30° [टिप्पणी : प्रश्न 3 (i) में 30° की रचना में लिए गए चरणों का अनुसरण कीजिए।

3. मान लीजिए किरण OC वृत्त की चाप को बिंदु Q पर प्रतिच्छेद करती है।
4. अब L को केंद्र मान कर और त्रिज्या से अधिक लेकर एक चाप खींचिए।
5. Q को केंद्र मानकर और चरण 4 वाली त्रिज्या लेकर एक अन्य चाप खींचिए जोकि चरण 4 वाली चाप को R पर प्रतिच्छेद करे।
6. 0 और R को मिलाइए और किरण OS खींचिए।
अत: OS, ∠AOC को समद्विभाजित करता है। इसलिए, ∠COS = ∠AOS = 15° है।
सत्यापन : ∠AOS को चाँदे से मापिए हम देखते हैं कि ∠AOS = 15° है।

हल : : (i) 75° के कोण की रचना :
रचना के चरण :
1. ∠ABE = 60° और ∠ABF = 90° खींचिए।
(टिप्पणी : उदाहरण 1 और प्रश्न न० 1 में लिए गए चरणों का अनुसरण कीजिए।)
2. मान लीजिए किरण BF वृत्त की चाप को G पर काटती है।
3. अब M को केंद्र मानकर और त्रिज्या से अधिक लेकर एक चाप खींचिए।

4. G को केंद्र मान कर और चरण 3 वाली त्रिज्या लेकर एक चाप खींचिए जो पहली चाप को H पर प्रतिच्छेद करे।
5. H में से एक किरण BC खींचिए जो ZEBF को समद्विभाजित करती है।
अतः, ∠ABC = 75° अभीष्ट कोण है।
सत्यापन : ∠ABC को चाँदे द्वारा मापिए। हम देखते हैं कि ∠ABC = 75°
रचना की प्रमाणिकता : ∠EBF = ∠ABF – ∠ABE = 90° – 60° = 30°
∠EBC = ∠CBF

= 15° [∵ BC ∠EBF को समद्विभाजित करता है] ∴ ∠ABC = ∠ABE + ∠EBC
= 60° + 15°
⇒ ∠ABC = 75° [जोकि चाँदे द्वारा मापे जाने पर सत्य है]

(ii) 105° के कोण की रचना :
रचना के चरण :
1. ∠ABE = 90° और ∠ABF = 120° खींचिए।
2. मान लीजिए किरण BE वृत्त की चाप को M पर तथा किरण BF वृत्त की चाप को N पर प्रतिच्छेद करती है।
3. M को केंद्र मानकर और त्रिज्या से अधिक लेकर एक चाप खींचिए।
4. N को केंद्र मानकर और चरण 3 वाली त्रिज्या लेकर एक अन्य चाप खींचिए जो चरण 3 वाली चाप को P पर प्रतिच्छेद करे।
5. P में से किरण BC खींचिए जो ∠EBF को समद्विभाजित करती है।
अतः, ∠ABC = 105° अभीष्ट कोण है।

सत्यापन : ∠ABC को चाँदे द्वारा मापिए। हम देखते हैं कि ∠ABC = 105° है।
रचना की प्रमाणिकता :
∠EBF = ∠ABF – ∠ABE
⇒ ∠EBF = 120° – 90° = 30°


[∵ BC, ∠EBF का समद्विभाजक है।
∴ ∠ABC = ∠ABE + ∠EBC
= 90° + 15०
⇒ ∠ABC = 105° [जोकि चाँदे द्वारा मापे जाने पर सत्य है]

(iii) 135° के कोण की रचना :
रचना के चरण :
1. एक किरण OA खींचिए।

2. 0 को केंद्र मानकर और कोई सुविधाजनक त्रिज्या लेकर एक चाप LM (जिसकी लंबाई अर्धवृत्त से अधिक हो) खींचिए जो OA को L पर प्रतिच्छेद करे।

3. अब L को केंद्र मानकर और त्रिज्या = OL लेकर एक चाप खींचिए जो चाप LM को P पर प्रतिच्छेद करे।

4. तब P को केंद्र और त्रिज्या OL लेकर एक चाप खींचिए जो चाप PM को Q पर प्रतिच्छेद करे।।

5. अब ∠POQ को किरण OB द्वारा समद्विभाजित करने पर हमें प्राप्त होता है; ∠AOB = 90°

6. अब 9 को केंद्र मानकर और त्रिज्या OL लेकर एक चाप खींचिए जो OM को N पर प्रतिच्छेद करे।

7. O और N को मिलाकर किरण OC खींचिए।

अतः, हम प्राप्त करते हैं ∠AOC = 180°
या ∠BOC = ∠AOB = 90°

8. अब ∠BOC को किरण OD द्वारा समद्विभाजित कीजिए।
तब ∠AOD ही अभीष्ट कोण 135° है।
[क्योंकि ∠AOD = ∠AOB + ∠BOD] = 90° + 45°
= 135°
सत्यापन : ∠AOD को चाँदे से मापिए। आप देखेंगे कि ∠AOD = 135°

हल : दी गई भुजा (मान लीजिए यह ∆ABC है जिसकी एक भुजा 6 सेमी है।) की समबाहु त्रिभुज की रचना करनी है।
रचना के चरण :
1. 6 सेमी की लंबाई का एक रेखाखण्ड BC खींचिए।
2. B पर ∠XBC = 60° खींचिए।
3. रेखाखंड BC का लम्ब समद्विभाजक PQ खींचिए।
4. मान लीजिए PQ किरण BX और BC को क्रमश: बिन्दुओं A और D पर प्रतिच्छेद करती है।
5. AC को मिलाइए। अतः, ABC ही अभीष्ट समबाहु त्रिभुज है।

रचना की पुष्टि :
समकोण ∆ADB और समकोण ∆ADC में,
AD = AD [उभयनिष्ठ] ∠ADB = ∠ADC [प्रत्येक 90°] (रचना से)
BD = CD [रचना से] ∴ ∆ADB ≅ ∆ADC [SAS सर्वांगसमता नियम से] ∴ ∠B = ∠C = 60° [सर्वांगसम त्रिभुजों के संगत भाग] इसलिए, ∆ABC में तीसरा कोण,
∠A = 180° – (∠B + ∠C)
= 180° – (60° + 60°)
= 180° – 120°
= 60°
त्रिभुज का प्रत्येक कोण 60° का है। अतः, बनाई गई त्रिभुज समबाहु त्रिभुज है।

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