Class 9 Maths Chapter 13 – पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन

prashnpatrLast Updated: March 24, 2024

Class 9 Maths पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन (प्रश्नावली 13.7)

जब तक अन्यथा न कहा जाए, लीजिए
1. उस लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए, जिसकी
(i) त्रिज्या 6 सेमी, और ऊँचाई 7 सेमी है।
(ii) त्रिज्या 3.5 सेमी और ऊँचाई 12 सेमी है।

हल :(i) r = 6 सेमी, h = 7 सेमी
शंकु का आयतन

= 264 सेमी³
(ii) r = 3.5 सेमी, h = 12 सेमी
शंकु का आयतन

= 154 सेमी

2. शंकु के आकार के उस बर्तन की लीटरों में धारिता ज्ञात कीजिए जिसकी
(i) त्रिज्या 7 सेमी और तिर्यक ऊँचाई 25 सेमी है।
(ii) ऊँचाई 12 सेमी और तिर्यक ऊँचाई 13 सेमी है।

हल :(i) यहाँ, r = 7 सेमी, l = 25 सेमी
l² = r² + h²
या (25 सेमी)² = (7 सेमी)² + h²
या 625 सेमी² = 49 सेमी² + h²
या (625 – 49) सेमी² = h²
या 576 सेमी² = h²
या h² = 576 सेमी²
या h² = √576 सेमी² = 24 सेमी

∴ शंकु के आकार के बर्तन की धारिता

= 1232 सेमी²
= 1.232 l [∵ 1000 सेमी² = 1 l] (ii) यहाँ, h = 12 सेमी, l = 13 सेमी
अब r² + h² = l²
या r² + (12 सेमी)² = (13 सेमी)²
या r² + 144 सेमी = 169 सेमी²
या r² = 169 सेमी² – 144 सेमी²
या r² = 25 सेमी²
या r = √25 सेमी = 5 सेमी

∴ शंकु के आकार के बर्तन की धारिता

[∵ 1000 सेमी³ = 1 l]

3. एक शंकु की ऊँचाई 15 सेमी है। यदि इसका आयतन 1570 सेमी है, तो इसके आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए। (𝝅 = 3.14 प्रयोग कीजिए)

हल : शंकु की ऊँचाई; h = 15 सेमी
शंकु का आयतन = 1570 सेमी³
मान लीजिए शंकु की त्रिज्या = r
∴

या
या 15.70r² = 1570 सेमी 1570³
या
या
या r = √100 सेमी = 10 सेमी
अतः आधार की वांछित त्रिज्या 10 सेमी है।

4. यदि 9 सेमी ऊँचाई वाले एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन 48𝝅 सेमी³ है, तो इसके आधार का व्यास ज्ञात कीजिए।

हल : शंकु का आयतन = 48𝝅 सेमी³ …(I)
शंकु की ऊँचाई ; h = 9 सेमी
मान लीजिए शंकु की त्रिज्या = r

∴ शंकु का आयतन =

……(II)
……(II)
I और II से,
𝝅r²x9 सेमी = 48𝝅 सेमी³
या 3r² = 48 सेमी²
या
या r = √16 सेमी = 4 सेमी
∴ आधार का व्यास = 2r = 2 x 4 सेमी = 8 सेमी

5. ऊपरी व्यास 3.5 सेमी वाले शंकु के आकार का एक गड्ढा 12 सेमी गहरा है। इसकी धारिता किलो-लीटरों में कितनी होगी?

हल : गड्ढे का व्यास = 3.5 मी
गड्ढे की त्रिज्या ;
गड्ढे की गहराई ; h = 12 मी
गड्ढे की धारिता

= 38.5 मी³ = 38.5 kl [∵ 1 मी³ = 1000 1 = 1 kl]

6. एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन 9856 सेमी³ है। यदि इसके आधार का व्यास 28 सेमी है, तो ज्ञात कीजिए :
(i) शंकु की ऊँचाई
(ii) शंकु की तिर्यक ऊँचाई
(iii) शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल

हल : (i) शंकु का आयतन = 9856 सेमी³
शंकु का व्यास = 28 सेमी
शंकु की त्रिज्या ;

मान लीजिए शंकु की ऊँचाई = h

∴ [∵ शंकु का आयतन ]

या

(ii) मान लीजिए शंकु की तिर्यक ऊँचाई = l
अब l² = r² + h²
या l² = (14 सेमी)² + (48 सेमी)²
l² = 196 सेमी² + 2304 सेमी²
= 2500 सेमी²
= 2500 सेमी = 50 सेमी
∴ शंकु की तिर्यक ऊँचाई = 50 सेमी

(iii) अब शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल = 𝝅rl

7. भुजाओं 5 सेमी, 12 सेमी और 13 सेमी वाले एक समकोण त्रिभुज ABC को भुजा 12 सेमी के परितः घुमाया जाता है। इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए।

हल : जब समकोण त्रिभुज ABC को इसकी 12 सेमी वाली भुजा के परितः घुमाया जाता है, तो ठोस आकृति, शंकु प्राप्त होती है। 12 सेमी वाली भुजा शंकु की ऊँचाई और 5 सेमी भुजा वाली शंकु के आधार की त्रिज्या होती है।
अब शंकु की त्रिज्या ; r = 5 सेमी
शंकु की ऊँचाई ; h = 12 सेमी

∴ शंकु का आयतन

= 100 𝝅 सेमी³

8. प्रश्न 7 के त्रिभुज ABC को यदि भुजा 5 सेमी के परितः घुमाया जाए, तो इस प्रकार प्राप्त ठोस का आयतन ज्ञात कीजिए। प्रश्नों 7 और 8 में प्राप्त किए गए दोनों ठोसों के आयतनों का अनुपात भी ज्ञात कीजिए।

हल : जब समकोण त्रिभुज को 5 सेमी भुजा के परितः घुमाया जाता है, तो ठोस आकृति, शंकु प्राप्त होती है। 12 सेमी वाली भुजा शंकु के आधार की त्रिज्या तथा 5 सेमी वाली भुजा शंकु की ऊँचाई होती है।

अब, शंकु की त्रिज्या ; R = 12 सेमी
शंकु की ऊँचाई ; H = 5 सेमी
शंकु का आयतन

= 240 𝝅 सेमी³

अब, प्रश्न नं०7 में बने शंकु का आयतन/प्रश्न नं०8 में बने शंकु का आयतन

∴ वांछित अनुपात = 5 : 12

9. उस सबसे बड़े लम्ब वृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए जो 14 सेमी भुजा वाले घन में पूरा-पूरा समा सकता है।

हल : सबसे बड़े लम्ब वृत्तीय शंकु के वृत्तीय आधार की त्रिज्या = घन का किनारा
⇒ 2r = 14 सेमी
[जहाँ, r शंकु के वृत्तीय आधार की त्रिज्या है] ⇒
⇒ r = 7 सेमी
और शंकु की ऊँचाई h = घन का किनारा = 14 सेमी

अब, सबसे बड़े शंकु का आयतन

= 718.66 सेमी³

10. गेहूं की एक ढेरी 10.5 मी व्यास और ऊँचाई 3 मी वाले एक शंकु के आकार की है। इसका आयतन ज्ञात कीजिए। इस ढेरी को वर्षा से बचाने के लिए केनवास से ढका जाना है। वांछित केनवास का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल : मान लीजिए, शंकु के आकार की ढेरी के आधार की त्रिज्या = r
∴ व्यास; 2r = 10.5 मी
⇒

⇒

शंकु आकार ढेरी की ऊँचाई, h = 3 मी
शंकु आकार ढेरी का आयतन

= 86.625 मी³

मान लीजिए शंकु आकार ढेरी की तिर्यक ऊँचाई l मी है।
∴ l² = r² + h² (पाइथागोरस परिणाम से)
⇒
⇒

⇒
⇒ l² = 36.5626मी²
⇒ l = √36.5625मी
⇒ l = 6.046मी
वांछित केनवास का क्षेत्रफल
= शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल
= 𝝅rl

= 99.75 मी² (लगभग)
अतः, केनवास का वांछित क्षेत्रफल 99.75 मी² (लगभग)