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Class 10 Maths Chapter 1 – वास्तविक संख्याएँ

Class 10 Maths Chapter 1 – वास्तविक संख्याएँ

NCERT Solutions Class 10 Maths Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ– 10वीं कक्षा के विद्यार्थियों के लिए जो अपनी क्लास में अच्छे अंक पाना चाहता है उसके लिए यहां पर एनसीईआरटी कक्षा 10th गणित अध्याय 1. (वास्तविक संख्याएँ) के लिए समाधान दिया गया है. इस NCERT Solutions For Class 10 Maths Chapter 1 Real Numbers की मदद से विद्यार्थी अपनी परीक्षा की तैयारी कर सकता है और परीक्षा में अच्छे अंक प्राप्त कर सकता है. इसे आप अच्छे से पढ़े यह आपकी परीक्षा के लिए फायदेमंद होगा .हमारी वेबसाइट पर Class 10 Maths के सभी चेप्टर के सलुसन दिए गए है .

ClassClass 10
SubjectMaths
ChapterChapter 1
Chapter Nameवास्तविक संख्याएँ

NCERT Solutions For Class 10 गणित Chapter 1 वास्तविक संख्याएँ

Class 10th Math वास्तविक संख्याएँ (प्रश्नावली 1.1)

प्रश्न 1. निम्नलिखित संख्याओं का HCF ज्ञात करने के लिए यूक्लिड विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग कीजिए :
(i) 135 और 225
(ii) 196 और 38220
(iii) 867 और 255

हल : (i) विभाजन एल्गोरिथ्म द्वारा,
चरण 1. क्योंकि 225 > 135, हम 225 और 135 पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर, प्राप्त करते हैं।
225 = 135 x 1 + 90
चरण 2. क्योंकि शेषफल 90 + 0, है, इसलिए हम 135 और 90 पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर, प्राप्त करते हैं।
135 = 90 x 1 + 45
चरण 3. क्योंकि शेषफल 45 ≠ 0 है, इसलिए हम 90 और 45 पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर, प्राप्त करते हैं।
90 = 45 x 2 + 0
क्योंकि शेषफल 0 प्राप्त हो गया है, इसलिए हम प्रक्रिया समाप्त करते हैं।
∵ चरण 3 में भाजक 45 है।
∴ 90 और 45 का HCF 45 है।
अतः, 135 और 225 का HCF 45 है।

(ii) 196 और 38220 का HCF ज्ञात करना।
चरण 1. क्योंकि 38220 > 196 है, हम 196 और 38220 पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर प्राप्त करते हैं:
38220 = 196 x 195 + 0
क्योंकि शेषफल 0 प्राप्त हो गया है, इसलिए हम प्रक्रिया समाप्त करते हैं।
∵ इस चरण पर भाजक 196 है।
∴ 38220 और 196 का HCF 196 है।
अतः, 38220 और 196 का HCF 196 है।

(iii) 867 और 255 का HCF ज्ञात करना।
चरण 1. क्योंकि 867 > 255 है, 867 और 255, पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर प्राप्त करते हैं :
867 = 255 x 3 + 102
चरण 2. क्योंकि शेषफल 102 ≠ 0 है, हम 255 और 102 पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर प्राप्त करते हैं
255 = 102 x 2 + 51
चरण 3. क्योंकि शेषफल 51 ≠ 0, है, हम 51 और 102, पर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करने पर प्राप्त करते हैं
102 = 51 x 2 + 0
क्योंकि शेषफल 0 प्राप्त हो गया है, इसलिए हम प्रक्रिया समाप्त करते हैं।
∵ चरण 3 का भाजक 51 है।
∴ 102 और 51 का HCF 51 है।
अतः, 867 और 255 का HCF 51 है।

प्रश्न 2. दर्शाइए कि कोई भी धनात्मक विषम पूर्णांक 6q + 1 या 6q + 3 या 6q + 5, के रूप का होता है, जहाँ q कोई पूर्णांक है।

हल : मान लीजिए α एक धनात्मक विषम पूर्णांक है। हम α और b = 6 के लिए विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करते हैं।
चूँकि 0 ≤ r

प्रश्न 3. किसी परेड में 616 सदस्यों वाली एक सेना (आर्मी) की टुकड़ी को 32 सदस्यों वाले एक आर्मी बैंड के पीछे मार्च करना है। दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है। उन स्तंभों की अधिकतम संख्या क्या है, जिसमें वे मार्च कर सकते हैं।

हल : सेना में सदस्यों की कुल संख्या = 616 और 32 (दो समूहों का बैंड) क्योंकि दोनों समूहों को समान संख्या वाले स्तंभों में मार्च करना है और हमने स्तंभों की अधिक सख्या ज्ञात करनी है। ∴ स्तंभों की अधिकतम संख्या = HCF = 616 और 32 का HCF चरण 1. चूँकि 616 > 32, हम 616 और 32 को लेकर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करके, हम प्राप्त करते हैं :
616 = 32 x 19 + 8
चरण 2. चूँकि शेषफल 8 ≠ 0, हम 32 और 8 को लेकर यूक्लिड प्रमेयिका का प्रयोग करके, हम प्राप्त करते हैं
32 = 8 x 4 + 0
क्योंकि अब शेषफल शून्य आ गया है। इसलिए हम प्रक्रिया को समाप्त करते हैं।
∴ इस अंतिम चरण में भाजक 8 है।
∴ 616 और 32 का HCF 8
अतः, स्तंभों की अधिकतम संख्या जिसमें वे मार्च कर सकते हैं, 8 है।

प्रश्न 4. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या 3m + 1 के रूप का होता है।

हल : यदि 𝑥 कोई धनात्मक पूर्णांक है, तब यह 3q, 3q + 1 या 3q + 2 के रूप का है।
यदि 𝑥 = 3q
दोनों ओर वर्ग करने पर,
(𝑥)2 = (3q)2
= 9q2 = 3(3q2) = 3m
जहाँ m = 3q2
जहाँ m भी एक पूर्णांक है।
अतः 𝑥2 = 3m ….(1)
यदि 𝑥 = 3q + 1
दोनों ओर वर्ग करने पर,
𝑥2 = (3q + 1)2
𝑥2 = 9q2 + 1 + 2 x 3q x 1
𝑥2 = 3 (3q2 + 2q) + 1
𝑥2 = 3m + 1 ….(2)
जहाँ m = 3q2 + 2q जहाँ m भी एक पूर्णांक है (1) और (2) से,
𝑥2 = 3m, 3m + 1
अतः, किसी धनात्मक पूर्णांक का वर्ग, किसी पूर्णांक m के लिए 3m या
3m + 1 के रूप का होता है।

प्रश्न 5. यूक्लिड विभाजन प्रमेयिका का प्रयोग करके दर्शाइए कि किसी धनात्मक पूर्णांक का घन 9m, 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का होता है।

हल : मान लीजिए x कोई धनात्मक पूर्णांक है और b = 3 है।
𝑥 = 3q + r
जहाँ q भागफल है और r शेषफल है।
0 ≤ r यदि r = 0 तो 𝑥 = 3q
यदि r = 1 तो 𝑥 = 3q + 1
यदि r = 2 तो 𝑥 = 3q + 2
𝑥, 3q या 3q + 1 या 3q + 2 के रूप का है।
यदि 𝑥 = 3q
दोनों ओर घन करने पर,
𝑥3 = (3q)3
𝑥3 = 27q3 = 9 (3q3) = 9q
जहाँ m = 3q3 और m एक पूर्णांक है।
𝑥3 = 9m ….(1)
यदि 𝑥 = 3q + 1 दोनों ओर घन करने पर
𝑥3 = (3q + 1)3
𝑥3 = 27q3 + 27q3 + 9q + 1
= 9 (3q3 + 3q3 + q) + 1
= 9m + 1

जहाँ m = 3q3 + 3q3 + q और यह एक पूर्णांक है।
पुनः 𝑥3 = 9m + 1
यदि x = 3q + 2
दोनों ओर घन करने पर,
(𝑥)3 = (3q + 2)2
= 27q3 + 54q2 + 36q + 8
𝑥3 = 9 (3q3 + 6q3 + 4q) + 8
𝑥3 = 9m + 8
जहाँ m = 3q3 + 6q2 + 4q
पुनः 𝑥3 = 9m + 8
(1) और (2) से हम पाते हैं कि
𝑥3, 9m, 9m + 1, 9m + 8 के रूप का है।
अतः, 𝑥3 एक धनात्मक पूर्णांक है जो
9m या 9m + 1 या 9m + 8 के रूप का है।

Class 10 Math वास्तविक संख्याएँ (प्रश्नावली 1.2)

प्रश्न 1. निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए:
(i) 140 (ii) 156 (iii) 3825 (iv) 5005 (v) 7429

हल :
(i) 140 के अभाज्य गुणनखंड
= (2)2 x (35) = (2)2 x (5) x (7)

(ii) 156 के अभाज्य गुणनखंड
= (2)2 x (39) = (2)2 x (3) x (13)

(iii) 3825 के अभाज्य गुणनखंड
= (3)2 x (425)
= (3)2 x (5)x(85) = (3)2x(5)2x(17)

(iv) 5005 के अभाज्य गुणनखंड
= (5) x (1001)
= (5) x (7) x (143)
= (5) x (7) x (11) x (13)

(v) 7429 के अभाज्य गुणनखंड
= (17) x (437) = (17) x (19) x (23)

प्रश्न 2. पूर्णांकों के निम्नलिखित युग्मों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए तथा इसकी जाँच कीजिए कि दो संख्याओं का गुणनफल = LCM X HCF है :
(i) 26 और 91
(ii) 510 और 92
(iii) 336 और 54

हल :26 और 91 दी गई संख्याएँ हैं।
(i) 26 और 91 के अभाज्य गुणनखंड हैं :
26 = (2) x (13)
और 91 = (7) x (13)
HCF (26, 91) = उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घातों का गुणनफल
HCF (26, 9) = 13
और LCM (26, 91) = सभी अभाज्य गुणनखंडों की सबसे बड़ी घातों का गुणनफल
= (2) x (7) x (13)
= 182
सत्यापन:
LCM (26, 91) x HCF (26, 91)
= (13) x (182)
= (13) x (2) x (91)
= (26) x (91)
= दी गई संख्याओं का गुणनफल

(ii) 510 और 92 दी गई संख्याएँ हैं।
510 और 92 के अभाज्य गुणनखंड हैं :
510 = (2) x (255) = (2) x (3) x (85)
= (2) x (3) X (5) x (17)
और 92 = (2) x (46) = (2)2 x (23)
HCF (510, 92) = उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घातों का गुणनफल = 2
LCM (510, 92) = सभी अभाज्य गुणनखंडों की सबसे बड़ी घातों का गुणनफल
= (2)2 x (3) x (5) x (17) x (23)
= 23460
सत्यापन :
LCM (510, 92) x HCF (510, 92)
= (2) x (23460)
= (2) x (2)2 (3) (5) (17) (23)
= (2) x (3) x (5) x (17) x (2)2 (23)
= 510 x 92
= दी गई संख्याओं का गुणनफल

(iii) 336 और 54 दी गई संख्याएँ हैं
336 और 54 के अभाज्य गुणनखंड हैं:
336 = (2) x (168)
= (2) x (2) x (84)
= (2) x (2) x (2) x (42)
= (2) x (2) x (2) x (2) x (21)
= (2)4 x (3) x (7)
और 54 = (2) x (27) = (2) x (3) x (9)
= (2) x (3) x (3) x (3)
= (2) x (3)
HCF (336, 54) = उभयनिष्ठ अभाज्य गुणनखंडों की सबसे छोटी घातों
का गुणनफल
= (2) x (3) = (6)
LCM (336, 54)
= अभाज्य गुणनखंडों की सबसे बड़ी घातों का गुणनखंड
= (2)4 x (3)4 x (7)
= 3024
सत्यापन:
LCM (336, 54) x HCF (336, 54)
= 6 x 3024
= (2) x (3) x (2)4 x (3)3 x (7)
= (2)4 (3) (7) x (2) (3)3
= 336 x 54
= दी गई संख्याओं का गुणनफल

प्रश्न 3. अभाज्य गुणनखंडन विधि द्वारा निम्नलिखित पूर्णांकों के HCF और LCM ज्ञात कीजिए :
(i) 12, 15 और 21 (ii) 17, 23 और 29 (iii) 8, 9 और 25

हल : (i) 12, 15 और 21 दी गई संख्याएँ हैं।
12, 15 और 21 के अभाज्य गुणनखंड हैं
12 = (2) x (6)
= (2) x (2) (3)
= (2)2 x (3)
15 = (3) x (5)
21 = (3) x (7)
HCF (12, 15 और 21) = 3
LCM (12, 15 और 21) = (2)2 x (3) x (5) x (7)
= 420

(ii) 17, 23 और 29 दी गई संख्याएँ हैं।
चूँकि 17, 23 और 29 अभाज्य संख्याएँ हैं। हमें पता है कि दो या दो से अधिक अभाज्य संख्याओं का सांझा गुणनखंड 1 होता है।
अत: HCF (17, 23, 29) = 1
LCM (17, 23 और 29)
= 17 x 23 X 29
= 11339

(iii) 8, 9 और 25 दी गई संख्याएँ हैं।
8, 9 और 25 के अभाज्य गुणनखंड हैं
8 = (2) x (4) = (2) x (2) x (2)
= (2)3 x (1)
9 = (3) x (3) = (3)2 x (1)
25 = (5) x (5) = (5)2 x (1)
HCF (8, 9 और 25) = 1
LCM (8, 9 और 25) = (2)3 (3)2 (5)2
= 1800

प्रश्न 4. HCF (306, 657) = 9 दिया है।
LCM (306, 657) ज्ञात कीजिए।
हल : 306 और 657 दी गई संख्याएँ हैं।
306 और 657 के अभाज्य गुणनखंड हैं
306 = (2) x (153) = (2) x (3) x (51)
= (2) x (3) x (3) x (17)
= (2) x (3)2 x (17)
657 = (3) x (219) = (3) x (3) x (73)
= (3)2 x (73)
HCF (306, (657) = (3)2 = 9
∵ HCF x LCM = दी गई संख्याओं का गुणनफल
9 x LCM (306, 657)
= 306 x 657
या LCM (306, 657) =
= 34 x 657
= 22338

प्रश्न 5. जाँच कीजिए कि क्या किसी प्राकृत संख्या n के लिए, संख्या 6n अंक 0 पर समाप्त हो सकती है।

हल : मान लीजिए, कि किसी संख्या n ∈ N के लिए, 6n अंक 0 पर समाप्त होती है।
∴ 6n, 5 से विभाज्य है।
परंतु 6 के अभाज्य गुणनखंड 2 और 3 हैं।
∴ (6)n के अभाज्य गुणनखंड (2 x 3)n हैं।
⇒ यह स्पष्ट है कि 6n के अभाज्य गुणनखंडन में 5 का कोई स्थान नहीं है।
∵ अंक गणित की आधारभूत प्रमेय के अनुसार प्रत्येक भाज्य संख्या को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है और यह गुणनखंडन अद्वितीय है, बिना यह ध्यान दिए कि अभाज्य संख्याएँ किस क्रम में हैं।
∴ हमारी कल्पना गलत है।
अतः, कोई भी प्राकृत संख्या n ऐसी नहीं है जिसके लिए संख्या 6n अंक 0 पर समाप्त होती है।

प्रश्न 6. व्याख्या कीजिए कि 7 x 11 x 13 + 13 और 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 + 5 भाज्य संख्याएं क्यों हैं?

हल : 7 x 11 x 13 + 13 = 13 [7 x 11 + 1] जो कि एक अभाज्य संख्या नहीं है क्योंकि 13 इसका एक गुणनखंड है इसलिए, यह एक भाज्य संख्या है। (साथ ही) 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 + 5
= 5 [7 x 6 x 4 x 3 x 2 x 1 + 1], जो कि एक अभाज्य संख्या नहीं है क्योंकि 5 इसका एक गुणनखंड है। इसलिए, यह एक भाज्य संख्या है।

प्रश्न 7. किसी खेल के मैदान के चारों ओर एक वृत्ताकार पथ है। इस मैदान का एक चक्कर लगाने में सोनिया को 18 मिनट लगते हैं, जबकि इसी मैदान का एक चक्कर लगाने में रवि को 12 मिनट लगते हैं। मान लीजिए वे दोनों एक ही स्थान और एक ही समय पर चलना प्रारंभ करके एक ही दिशा में चलते हैं। कितने समय में वे पुनः प्रारंभिक स्थानों पर मिलेंगे।

हल : सोनिया द्वारा मैदान का एक चक्कर लगाने में लगा समय = 18 मिनट रवि द्वारा मैदान का एक चक्कर लगाने में लगा समय
= 12 मिनट
वे पुनः प्रारंभिक स्थान पर मिलते हैं
= L.C.M. (18, 12)
अब 18 और 12 के अभाज्य गुणनखंड हैं :
18 = (2) x (9) = (2) x (3) x (3)
= (2) x (3)2
12 = (2) x (6) = (2) (2) (3)
= (2)2 x (3)
LCM (18, 12) = (2)2 x (3)2
= 4 x 9 = 36
अतः, 36 मिनट बाद सोनिया और रवि प्रांरभिक स्थान पर मिलेंगे।

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